科学・テクノロジー書籍店

第１のテーマは、大域的な座標であるフリッケ座標とフェンチェル・ニールセン座標の導入の議論である。この根底に、閉リーマン面の被覆面（あるいは、フックス群モデル）の理論がある事を、読者は容易に認められると思う。

第２のテーマは、擬等角写像を用いた位相（特に、距離）の導入の議論である。特に、ベルトラミ方程式の可解性、即ち与えられたベルトラミ係数を歪曲係数にもつ擬等角写像の存在、及びそのフレシェ微分の積分表示に関する関数解析的な議論が非常に重要である。この結果、「タイヒミュラー空間は、フリッケ空間とともに、6g-6 次元ユークリッド空間と同相である」というタイヒミュラーの定理が導かれている。

第３のテーマ（複素構造の導入）は、ベルトラミ微分、擬等角写像、及び正則２次微分の各々の理論が美しく交錯する、本書のハイライトである。複素構造導入に関するベアスの素晴らしいアイディア、ヴェイユとピーターソンによるエルミート計量の導入、またその計量のケーラー性、更にその基本形式をフェンチェル・ニールセン座標で明示的に表すウォルパートの公式、などが美しい証明とともに述べられている。ここでは、「タイヒミュラー距離が小林双曲距離に一致する」というロイデンによる驚くべき大定理も紹介されている。

本書のハイライトは３つある。　即ち、�@[4章]コンパクト群Ｇ上の関数空間L２(G)へのユニタリ表現（正則表現）の既約分解を与えるPeter-Weylの定理の解説、�A[8，9章]古典型コンパクトLie群の有限次元既約表現の分類を与えるCartan-Weylの最高ウェイト理論の解説、最後に�Bとして、上の�AのCartan-Weyl理論で述べられた既約表現の幾何学的構成を与えるBorel-Weil理論の解説である。　特に、コンパクト古典群の有限次元既約表現の表現空間を、旗多様体上の等質直線束上の正則切断の空間で実現するというBorel-Weilの理論はまさしく本書の頂点に位置し、等質ファイバー束の幾何（及び、同変ファイバー束としての特徴付け）とその切断の解釈、並びにそれによる誘導表現の構成などが巧みに用いられており、棹尾を飾るに相応しい美しい理論で締めくくられている。

因みに、等質空間上の解析にリー群の表現論が本質的な役割を果たすのであるが、本書の10章では更に詳しく等質主束G→G/Hに同伴するファイバー束（いわゆる、等質ファイバー束）G×HF→G/HのファイバーFがベクトル空間の場合、HのFへの表現がGの等質束の切断の空間Γ(G×HF)への表現（誘導表現）に拡大できることが非常に明確に示されており、リー群の表現論とファイバー束の理論との関わりがより高い見地から展望出来て感心させられる。